Matematica 1° Ano

Volume 1

Página 4

Exercícios 1, 2 & 3.
_________________________________________
questão 1.
a) A= { 5,6,7,8,9,10,11}
b) B= {o,1,2,3,4,5,6}
c) C= {-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
d) D= {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6..}

_________________________________________
questão 2.
a) E= {0,4,8,12,16}
b) F= {9,11,13,15,17}
c) G= {-3,-2,-1,0,1}
d) H= {4,5,6,7,8}

__________________________________________
Questão 3.

-seria as respostas, da questão numero 2 (:

Página 5

Exercício 2

a) E {0,4,8,12,16}

b) F {5,11,13,15,17}

c) G {-3,-2,-1,0,1}

d) H {4,5,6,7,8}

Página 5

ex: 5
a) a1;

a1= 1-1 0
___1+1 = 2 = 0

b) a5;

a5= 5-1 = 4:2 = 2
____5+1 = 6:2= 3

c) o 8º termo;

a8= 8-1 = 7
___8+1= 9


d) a posição do termo é igual a 9
11

a10= 10-1 = 9
____10+1 =11

Página 6

Exercício 3

E={4x,sendoxEN/x<=4}
F={2x,sendoxEN/4<=+<=8}
G={xEZ/-3<=x<=1}
H={xEN/4<=x<=8}

Página 6

Exercício 4

a) 1
b) 2
c)8

Página 6

Questão 5

Segunda figura

Questão 6

38ª = Segunda figura
149ª Primeira figura

Questão 7

38ª = 2

149ª = 3

Questão 8

Numa terça feira

Questão 9

a) 120+6.10=120+60=180 arvores

b) No 10º Dia = 120+9.10=120+90=210
2.210=420 arvores

Página 7

ex: 8

R: Terça-Feira

ex: 9

a) 180 arvores

Página 8

exercício 10..

a) VI= c2 e c3... d3 e d4....

b) 10 vezes

Pág. 8

10.
a) v1 = C2 e c3 ... D3 e D4

b)

10 vezes!

Pág. 8

Liçαõ de cαsα

Observe as seqüências abaixo
α) 1,2,2,3,1,2,2,3...
.qual é o 20º termo da seqüência ? ---> o número 3
b)0,0,0,7,8,5,0,0,0,7...
.qual é o 30º número da seqüência ? ---> o número 5
c)1,2,3,9,11,15,1...
.qual é o 24º número da seqüência ? ---> o número 15

* O que está entre parênteses é que é elevado.

Página 9

exercício 2...

21+7= 28

28+8= 36

Pág.10

Ex.:3
x²-8x=15=0
a=1 b=-8 c=15

S=-(-8)
1

P=15
1


S=-8 p=15

x=3 x=5


Obs.: S e P (S= soma e P=produto)

Pág. 10

3) S= (-3,-1,1,3,5)
x²-8x+15=0
b²-4ac / -b+-raiz²dedelta (não tem no teclado --' )

x=(-8)²-4.1.15
64-60
deslta = raiz² de 4
delta= 2

-(-8)+2= 8+2= 10 = 5
2.1 ..............2... 2

8-2= 6= 3
2 2

Pág. 10

1-a) S={1/4, 2/5, 3/6, 4/7, 5/8}
b)a9= 9/12
c= a54= 54/57
d= an= m/n+3

2-a) S= {2, 5, 8, 11, 14}
b) a10= 29
c) a20= 59
d) an= 3.n-1

3-a) (1², 2², 3², 4², 5²)
S= (3, 6, 6, 11, 18, 27)

b) 8² + 2 =66
c) a20= 20² + 2 = 402
d) an= n²+2

Página 11 e 12

Exercício 2 e 3.....



2 a) 2,5,8,11,14

b) 3 x 10 -1= 29

c) 3 x 20 -1= 59

d) an = 3 x n-1


3) a) 3,6,11,18,27

b) 8²+2=66

c) 20²+2=402

d) an=n²+2

Página 12

4.
aN= 1+2/1 = 3/1 = 3
aN= 2+2/2 = 2/2 = 2
aN= 3+2/3 = 5/3
aN= 4+2/4 = 6/2 = 3/2
aN= 5+2/5 = 7/5

Pág. 11, 12 e 13

3-a) S=(3,6,11,18,27)

b)8²+2 = 66

c) A20= 20² + 2 = 402

d) An= n² + 2

5-
a) A1= 0
b) A5= 2/3
c) A8= 7/9
d) 10º

6-
a) A5= 1/9
b) A6= 1/27
c) 7º

* O que esta entre parênteses é que é elevado.

Página 13

ex: 7

O termo certo é o segundo ( an = 3³-n )

n = 1 a1 = 3³ ¹ = 3² = 9 <~~ subtrai os expoentes 3-1 = 2 n = 2 a2 = 3³ ² = 3¹ = 3 <~~ subtrai os expoentes 3-2 = 1 n = 3 a3 = 3³ ³ = 3 = 1 <~~ subtrai os expoentes 3-3 = 0

Pág. 14

8.
a- 18
b- 28
c- 68
d- 200
e ---
f- An = A1 + (N-1) . R

Pág. 14

8)
a) 18
b) 28
c)68
d)109
e)211

9-
a) (1,3,5,7,9...)
b) 25
c)49
d) a n = 2n-1

Pág. 15

10-

a)A6=36
b)A7=49
c)N² ou n.n

Pág. 15

Questão 10

a) a6=36
b)a7=49
c)an=n²

Página 15

10-
A)6.6=36
b)7.7=49
C)an=n²

Lição de casa
1.
A) (raizde2, raizde3, 2 , raizde5, raizde6)
B) (2, 3, 4, 5, 6)

2.
A) 30

Pág. 16

b) 1|1|0
2|2|2
3|3|6
4|4|12
n|n|n²-n

c ) 39²-39=1482 Formula= n²-n

3)
A) 6 e 100
B) N²

Pág.17

4
a) 25
b) o numero de quαdrαdos escuros é mαior qe o numero de quαdrαdos clαros .
c) Nessα situação o numero de quadrαdos clαros é mαior

5
...α primeirα frαse é pαrα o primeiro quαdrαdo en brαnco e consecutivαmente ...

α somα dos 4 primeiros números impαres é iguαl αo quαdrαdo de 4 .

1+3+5+7+9=25=5²

Página 18

1) a. I=15,18,21
II= 16,19,22
III= 17,20,23
IV= 64,128,256
V = 1,0;1,2;1,4
VI= 1024,4096,16384

B) Não pois só algarismo 8 aparece no termo 28,que é o 10 termo da seqüência.

Página 19

c) não porque na seqüência I o resto sempre 0 na II seqüência o resto é sempre 1 e na seqüência III o resto é 2

d) seqüência 0,2

e) II Formado por números divisíveis por 3 deixam o resto 1 logo o 137 não é termo da seqüência (II),pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2

f) ªn=3(n-1).n E n*

g) ªn= 3.n+1, n E n*

h) ªn= 3n+2, n E n*

i) ªn= (-2)n'' o n é elevado" , n E n*

j) ªn= 0,2.n, n E n*

l) I,II,III,IV são PA porque adiciona na razão
IV,VI. são PG porque multiplica

Página 20

2) a-
2118= Copa do Mundo
2079= Jogos Pan-Americanos
2017= Não haverá competições
b-Não é possível!Pois qualquer número dividido por 4 deixa apenas um desses restos.

3) a- (-8,-2,4,10,16)
b- 40
c- 76
d- 106
e- 58-16=42
f- an= 6.n-14

4) a- a2= 0,02.5=0,1
b- a3= 0,1.5=0,5
c- a4= 0,5.5=2,5
d- 62,5+2,5=25
e- an=0,02.5 elevado à n-1

Página 21

b) não é possível, pois qualquer numero dividido por 4 deixa um,e apenas um desses resta zero 1,2 ou3


3) a- (-8,-2,4,10,16...)

b- 40

c- 76

d- 106

e- 42

f- ªn-6.n-14


4) a- 0,1

b- 0,5

c-2,5

d- 25

e- ªn=0,02.5( este numero e elevado no 5 /n-1)

5) a- r=3 PA

b- não é PA

C- r= 4 PA

D- SÃO PA E PG. PA PQ A RAZÃO R=0/PG PQ A RAZÃO R=1

E- R=1/2(FRAÇÃO) PA

f) não é PA

Pág. 22

a)
Razão:3

b)
não

c)
Razão: -4

d)
Razão: 0

e)
Razão: 1/2 (meio)

f)
Não

Pág. 24

6-

I ) 5,9,13,17,21
II ) 3,7,23,63,99
III ) 2,6,18,54,162
IV ) 2,5,8,11,14



7-


I) q=3
II) ñ é PG
III) q=1/3 (um terço)
IV) q= -2
V) ñ é PG
VI) q= Raiz quadrada de 2

Pág. 25

8-

I) 4,7,10,13,16
II) 2,11,26,47,74
III) 3,6,9,12,15
IV) 3,6,12,24,48
V) 3,5,7,9,11

Página 26

9)a- 3.²,12.²,24.²,48.² Quinto termo,96... sexto termo
PG (obs. os pontinhos são a operação multiplicar vezes)

b- sim é uma PG porque ela se multiplica

c- 1 | 3 | 3
3 | 3.2=3.2¹| 6
3 | ........... | 12
4 | ............. | 24
... | ............. | 48
n | ............. | 96

Obs. os pontilhados são as contas que não cabem no espaço eu fiz assim e a professora aceitou.

Página 27

10) a- sim pq. é uma seqüência de 6 em 6

b- 28+6=34 & 34+6=40

c- 4+77.6=466

d- ªn=4+(n-1).6=6.n-2

11)ª20=ª9+11.r

12) (8,2,-4,-10)

Página 29

6)a- 1ª=50.00
2ª=20/100. 50.00=10,000+50,000=60,000
3ª=200/100.60,000=12,000+60,000=72,000
4ª=20/100.72,000=14,400+72,000=86,400
5ª=20/100.86,400=17,280+86,400=103,680
(obs.as barra significa que são números em fração)
________________________________________________
b- PG r= 1,2
c- P1=50,000
P2=50,000.1,2¹.1,2=50,000.1,2²
P3=50,000.1,2².1,2=50,000.1,2³
e assim,Pn=50,000.1,2 (o n é elevado)
_________________________________________________
7)
a-1ª=20,000
2ª=18,000
3ª=16,200
4ª=14,580
5ª=13,122
b- P1= 20,00
P2=20,000.0,9.0,9=20,000.0,9²
P3=20,000.0,9².0,9=20,000.0,9³
assim Pn=20,000.0,9n (o n é elevado)
_____________________________________________________

Página 30

Exercício 7

A)
20,000,00

a1=20 000 .0,9=18 000
a2=18 000 .0,9=16 200
a3=16 200 .0,9=14 580
a4=14 580 .0,9=13 122

(18 000,16 200, 14 580,13 122)


B) n
An=20 000 .0,9

Página 31

Você aprendeu

1)1ª=4+3.1=7
2ª=4+3.2=10
3ª=4+3.3=16
4ª=4+3.4=19
5ª=4+3.5=22
b- ªn=n+1
c- ªn=4+3.n
________________________________________________________
2)d1=-5.1+15
d1=-5+1
______________
d2=-5.2+15
d2=-10+15
d2=-5
________________
d3=-5 .3+15
d3=-15+15
d3=0
_________________
d4=-5.4+3
d4=-20+3
d4=-23
_______________
3) a- 37
b- 62
c- E=n+6
d-56
e- PA soma

Página 31

Exercício 1

A)

p1=4+3.1=7
p2=4+3.2=10
p3=4+3.3=13
p4=4+3.4=16
p5=4+3.5=19
p6=4+3.6=22

(7,10,13,16,19,22)


B)

P.A., razao 1


C)

P.A., razao 3


Página 32

Exercício 2

a)

(10,5,-5,-10-15) {nao sei se ta certo}


b)

é um P.G.


3-
a)

37


b)

61

c)

p=6n+1


d)

pq=6.9+1 pq=55


e)

é uma P.A. de razao 6

Página 32 e 33

3]a) a6=37

b) a10= 6.10+1 ->61

c) n= Conjunto E={1,2,3,4,5,6...}.
p= n "transformados"; equação: p= 6n+1

d) a9= a10-r -> 61-6= 55; ou então assim:
a9= 6n+1 -> a9= 6.9+1 -> a9= 55

e) P.A. => a3-a2= 6, a2-a1= 6.

Página 33 e 34

"Lição de casa"

*Obs: Como não tem do elevado a 4 pra frente no meu teclado, eu vou colocar assim por exemplo:³+¹; vocês coloquem elevado a 4 ao invez disso.E o sinal de divisão vai ser o "/" (a barra).E os números grandes, que estão por exemplo: a1, a2... esses são aqueles numeros pequenos q vão embaixo da letra a, eu num achei eles aqui... então coloquei o grande mesmo, mas vocês coloquem os pequenos.

1] a1= 7, a2= 49, a3= 343, a4= 2401.
a1=7¹, a2= 7², a3=7³, a4=7³+¹ --> q= 7
a3/a2, a2/a1 --> 343/49= 7, 49/7= 7 ---> P.G. <--- Iam a Bagdá: 2401 gatinhos;343 gatos; 49 sacos; 7 mulheres.

2-

a) A= {00,11,22,33,44,55,66,77,88 e 99.}. P.A.: 33-22= 11, 22-11= 11, 11-0= 11. r=11

b) B={000,010,020... 989,999}. NÃO é uma P.A. ===>
===>090-101=11, 010-000= 10, 999-989=10.<=== *Na mudança de centenas, por exemplo: 090 para 101, 898 para 909.A razão varía de 10 para 11, depois volta a 10.

Página 35

1-
a1=10 an=70 n=11 r=6
an=a1+(n-1).r
70=10+(n-1).6
70-10=6n-6
60+6=6n
6n=66
n=66/6
n= 11

formula da soma é: Sn=(a1+an).n/(dividido por)2
Sn=10+70.11
------------------
2
sn=880/2
sn=440

3- a1=115 an=828 n=32 r=23
828= 115 +(n-1).23
828-115=23n-23
828-115+23=23n
23n=736
n=736/23
n=32

Sn=(115+828).23
-----------------------
2

Sn=30.176/2
Sn=15.088

Página 35

ex 2
a¹=13 an=153 n=21 r=7
an=13+(21-1).7
an = 13+20.7
a²¹=153

a¹=13 an=363 n=51 r=7
an=13(51-1).7
an=13+50.7
an=363(a51)

a1=153 an=363 n=30 r=7
Sn=(153+363).30
----------------------
2

Sn=516.30/2
Sn=15.480/2
Sn=7.740

Página 35

1)an = a1 (n-1). r
70 = 10 + (n-1). -6
70 = 10+ 6n - 6
70 - 10 + 6 = 6n
(não tem fração no teclado,então vou escrever)
66 = 6n sobre 6

n=11

(mesma conta)

Sn= (a1+an). n sobre 2
S11 = (10 + 70) .11 sobre 2
S11 = 80 . 11 sobre 2
S11 = 880 sobre 2 = 440

Página 35

2)an = 13 + (21-1) . 7
an = 13 + 140
an = 153

an = 13 + (51-1). 7
an = 13 + 350
an = 363

Sn = (153+363). 30 sobre 2
Sn = 516.30 sobre 2 = 15.480 sobre 2
Sn = 7.740

3)828 = 115+ (n-1) . 23
828 - 155 = 23n - 23
713 + 23 = 23n
736 = 23n
n = 736 sobre 23 = 32

S32 = (115+828) 32 elevado à 16
S32 = 943 . 16
S32 = 15088

Página 35

4) a- 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66
b- Ela vai aumentando de acordo com o número anterior.Ex:se na base o nºde bolinhas for 2, consequentemente a próxima será 2+1,tanto na base,quanto na altura.
c- an-(n+1 sobre 2)
d-
1|1|1
2|1+2|3
3|1+2+3|6
4|1+2+3+4|10
...|...|...

n = 1+2+3+4+5+...+ (n-1)+n
an= n(n+1) sobre 2

5) a- 6ª = 51
7ª = 70

Página 36/37

4) a- 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66
b- Ela vai aumentando de acordo com o número anterior.Ex:se na base o nºde bolinhas for 2, conseqüentemente a próxima será 2+1,tanto na base,quanto na altura.
c- an-(n+1 sobre 2)
d-
1|1|1
2|1+2|3
3|1+2+3|6
4|1+2+3+4|10
...|...|...

n = 1+2+3+4+5+...+ (n-1)+n
an= n(n+1) sobre 2

5) a- 6ª = 51
7ª = 70

Página 38

6) (1,2,4,8..)

S20 = 1x1-2²º sobre 1-2
S20=1x1-1.048.576 sobre 1-2
S20=1x-1.048.575 sobre -1
S20=1.048.575

7)

510=2.1-2 elevado á n sobre 1-2
510-2.1-2 elevado à n sobre -1
510=2.(1-2 elevado à n )
510 sobre 2 = (-1+2 elevado à n)
255 = -1+2 elevado à n
255 + 1= 2 elevado à n
256=2 elevado à n
2 elevado à oito = 2 elevado à n

daí vc corta os 2 e coloca o resultado final

8=n

n=256

Página 39

8) a- 1,2,4,8,16,32,64,128

an=a.q elevado à n-1

128=1.2 (elevado à n-1)

128=2 (elevado à n-1)

27=2 (elevado à n) . 2 (elevado à -1)

7+1 = 8

n=8

Sn=1.2 (elevado à 8-1) sobre 2-1

S20=2 (elevado à 8) -1 sobre 1

S20=256-1 sobre 1

S20= 255 +1

S20=256

b- 256 . 0,5 = 128 cm

c- O preço pago pela TV é de R$ 765,00

Página 40

1) a- an=5n-9

b- an=a1+ (n-1).r

a12=-4+(12-1).5

a12=-4+(11).5

a12=-4+55

a12=21

sn=(-4+51).12

sn=(47).6

sn=282

c- sn=(-4+5.n-9).n sobre 2

an= 1 sobre 2 (-13+5n).n

an=1 sobre 2 (-13n+5n²)

2) a- s6=3.(6)(elevado à 2)-5.6

s6=3.(36)-30

s6=108-30

s6=78

b- s7=3.(7) (elevado à 2)-5.7

s7=3.(49)-35

s7=147-35

s7=112

c- O 7º termo é a diferença entre S7 e S6 / a7=112-78= 34

d- a1=3(1) (elevado à 2)-5.(1) →s1=3-5= -2

a2=s2-a1=

s2=3(2) (elevado à 2)-5(2)

s2=3(4)-10

s2=12-10=2

a2=2-(-2)

a2=2+2

a2=4

(-2,4,10,16,22,28,34)

é uma P.A .

Página 40

10) a- 5% = 0,05

P.G → q = 1-0,05

q= 0,95

a6= ?

an = a1.q (elevado à n-1)

a6=200.0,95 (elevado à 6-1)

a6=200.0,95 (elevado à 5)

a6 = 154,20

b- S= 200 - 0,95 (elevado à 6) - 1 sobre 0,95 -1

S200= (-0,27 sobre -0,05)

S=200.5,4

Sn= 1.080

Página 42 

3.a)

a4 = 10 . 1, 20 [ elevado a 3 ]

a4 = 10 . 1, 728

a4 = 17, 28 km

b)

sn = 10 . (1 ,20 [ elevado a 10] -1)

1,20 -1

s10= 10 . (6,2 - 1)

1,20 - 1

s10= 10 . 5,2

0,20

s10 = 52

0,20

s10 = 250 km

Página 45

1 mes | 1,04.500 | 520| á soma do 520 até 700 é 6100

2 mes | 1,08.500 | 540| ele vai resgatar nesse investimento 6100

3 mes | 1,12.500 | 560|

4 mes | 1,16.500 | 580|

5 mes | 1,20.500 | 600|

6 mes | 1,24.500 | 620|

7 mes | 1,28.500 | 640|

8 mes | 1,32.500 | 660|

9 mes | 1,36.500 | 680|

10 mes | 1,40.500 | 700|

Página 51

Você Aprendeu?

1. S= 2+1/2+1/8+1/32+...

S(ake é um símbolo que não tem no teclado,é tipo um 8 de lado, e não tem, parênteses)=a1/1-q

2.A) S=-10+1-0,1+0,01-0,001+0,0001

S2=a1/1-q = 2/1-1/4 - 2/ 4/4-1/4 = 2/ 3/4 = 2.4/3=8/3

Sx=8/3

Página 51

Ex.

a) a1=2

q=1sobre4 ¹/4

Lim Sn=?

n=infinitivo

Lim Sn=a1/1-q

Lim Sn=2/1-1/4

Lim Sn=2/4-1 sobre 4

Lim Sn=2/3/4=2x4/3

Lim Sn=2,6

Volume 2

Página 4

a ) Não é uma Proporção

b) Não é uma Proporção

c) Sim . é diretamente Proporcional

D) sim .é diretamente Proporcional

e)sim .é diretamente Proporcional

Página 5

2.

a) A produção de automóveis cresce simultaneamente com a produção de tratores, ela é diretamente proporcional

b) Cresce juntamente ambas as áreas, mas nao é proporcional

c)Não há proporcionalidade pois o PIB aumenta diretamente mas nao proporcionalmente e o IDH é inverso e não há proporcionalidade.

d) um cresce diretamente e o outro inversamente.

3. x | 400.000 | 200.000 |133.333,33 |100.000 |80.000 | 50.000 | 40.000 |20.000

4. m² R$

25 20,00

225 x

25x = 4.500

x= 4.500/25

x= 180 [reais]

Página 6

exercício 4

20 x 4 = 80

Página 7

2 ) a ) 4,9 m/s²

Página 7

x e y são diretamente proporcionais

y e z não tem proporção

x e y inversamente proporcionais

Pagina 7

Ex. 2

a)

d= k.t²

4,9=k1²

4,9=k.1

k=4,9

b)

d=4,9.t²

d=4,9.5²

d=4,9.25

d=22.5m

Página 8

Ex. 1

L 0 1 2 3 4 6

P 0 2,50 5 7,5 10 15

Página 10

p(12)=15+0,8.x=(12)

P(12)=15+9,6

p(12)=24,60 

Página 12/13

1.

a) menor - 10m

maior - 100m

b)40m - 2 vezes

95m - 6 vezes

2.

a)x1 = 500L e x2 = 800L

N. 500=2000

N = 2000/500

N = 40 dias

N.800 = 2000

N2000/800

N= 25 dias.

(B) - gráfico

3.

a) x=8 ----- y=24

x=4---------y=12

x=1---------y=3

(x, f (x) )

(8, 24 )

(4, 12 )

(1, 3 )

(x, 3x )

Página 14

Exercício c

x=-2

y=k.x

y=3.(-2)

y=F(x)

y=(-2)

_______________________________________

y=k.x

y=3.(-2)

y=6

Página 15

Reta A - y=2x+0

B - y=2x+2

C - y=2x+4

D- y=4

E y= - 4 sobre ( 3) x +4

Página 16

2-a) pois r$ 500,00 é o valor que se tem quando começa a produzir o xampu, a cada 10 litros tem um aumento de r$ 20,00

b) c (x)=2x+500

y = 500 b = 520 X = 10

520=10a + 500

-10a=520+500

-10a= -20

a= - 20/-10

A= +2

c) 2.1500 + 500

3000 + 500=

3500

Página 17

d) 10.000=2x+500

10.000-500=2x

x=9.500

-------- =4.750L

.....2

3-a) C=CF+CV

C-CV=CF

CF=0.05x

b) C(x)=0.05

Página 18

c) C(x)=0.05x+2.000

d) Gráfico

Página 19

Ex:. 5

a) - M > 0 em pé

b) - M > 0 -> Reta para direita e é Crescente

M < 0 -> Reta para a esquerda e é Decrescente

Página 23

1. a) -

K - 273 .. .... C- 0

------------ . . --------

373 - 273 .. ... 100- 0

K - 273 .. .... . . C

----------- . . --------

100 .. .... . . . 100

K - 273 = C

Resultado Final -- > K = C + 273

Página 24

1.b)

C - 0 .. .... . . F - 32

------------ . . --------

100 - 0 .. ... 212 - 32

C .. .... . . F - 32

------ . . --------

100 .. ... 180

180 C = 100 F - 3200

------------------------------

. . . . . .100

1,8 C = F - 32 Resultado Final ---> F = 1,8 C + 32

Página 25

2- 596-535 = 61 + 596 = 657 milhões de barris

3- a) x+10+x+10+2x+4+2x+4+6x=64

12x=64-28

12x=36

x=36/12

x=3m.

4- 0 a 10 ------ > [delta]v=10-0 =1m/s

(ta dividindo) --> [delta]t 10-0

10 a 20 ----------> 10 = 10= 1m/s

(ta dividindo)-> 20-10 =10

20 a 30 ----------> 10 = 10 =1m/s

(ta dividindo)-> 30-20=10

Páginas 35/36

Lição de casa.

1(a): Coordenados do vértice (-3 , -1/2)

Ponto mínimo: -3

mínimo valor da função: -1/2

1(b): Coordenadas do vértice (2 , -5/2)

ponto de máximo -2

máximo valor da função -5/2

1(c): Coordenadas do vértice (1,2)

ponto do mínimo 1

mínimo valor da função 2

1(d): Coordenadas (1/2 , -3/4)

ponto de mínimo: 1/2

mínimo valor -3/4

1(e): Coordenadas do vértice (4,0)

ponto de mínimo: 4

mínimo valor da função: 0

1(f): Coordenadas do vértice (0,2)

ponto de máximo: 0

máximo valor da função: 2

OS NÚMEROS QUE ESTÃO COMO -1/2 É EM FRAÇÃO.

Volume 3

Página 4

exercicio 1:

3 elevedo a(potencia) 1/2
P=(dentro da raiz)3
e
4 elevado a 1/4
p=x(uma fração)17sobre4
p=(dentro da raiz)x17

exercicio 2:

I.N=5000.3(elevado) a 2
N=5000.9
N=45000

II.N=5000.3(elevado) a um meio
N=5000.3(dentro da raiz)
N=5000.1,71

III.N=5000.3(elevado)a dois meio
N=5000.3(dentro da raiz)
N=5000.1,71

Pagina 4

1- 3 [elevado a] t = 3 [elevado a]1/2 = [raiz de] 3
4,25 = 425/100 [simplifique por 25] = 17/4
3 [elevado a] 17/4

ex.02
I-
N=5000 . 3²
N=5000 . 9
N= 45.000 micróbios

II-
N= 5000 . 3[elevado a] 1/2
N= 5000 . [raiz de] 3
N= 5000 . 1,73
N= 865.000 micróbios

III-
N= 5000 . 3[elevado a]2/3
N= 5000 . [raiz de] 3³
N=5000 . 2,08
N=10.400 micróbios

IV-
N=5000 . 3[elevado a] 5/4
N=5000 . 3,98
N=19.740 micróbios

PÁGINA 05

ex. 03

P(t) = P . (1,5)[elevado a] t
162.000 = P . 1,5 [elevado a]4
P= 162.000/1,54
P= 32.000 automoveis

PAGINA 05

ex. 3
b) P (10)= 32.000 . 1,5¹°
P = 1.845.281 automóveis

 Página 06

Ex 04

1 -| 3 e 1/3
2 -| 3²=9 e 1/2²=1/4
3 -| 1/3³ = 1/27
0 -| 2°=1 e 1/3°=1
-3-| 2[elevado a] -3 = 1/2³ =1/8 e 1/2[elevado a]-3= 2³ = 8
1/2| 3 [elevado a] 1/2 = [raiz de]3 = 1,73 e [raiz de]1/3 = 1/ [raiz de] 3


[a B da pag. 6 ja foi postada]

Página 7

Ex.5,
I - y= 2[elevado a] x
Y= 2° = 1
Y=2¹ = 2
Y=2² = 4
[só por no gráfico]

II- y= 1/2[elevado a] x
Y=1/2°= 1
Y=1/2¹=1/2
Y=1/2²= 1/4

III- y=3[elevado a]x
Y=3°=1
Y=3¹=3
Y=3²=9

IV- y= 1/3 [elevado a] x
Y= 1/3°=1
Y= 1/3¹=1/3
Y= 1/3²=1/9

Paginas 9 e 10 basta fazer o mesmo da página 7

Pagina  11


Lição de casa
1)a)
N= 3000.1°,¹.°
N= 3000.10°
N= 3000.1
N= 3000

Pagina 11

(LIÇAO DE CASA)
1)a) N=3000.10^0,1.0
N=3000.1 N=3000
--------------------------------------------------------------------------------------------------

b)N=3000.10^0,1.10
N=3000.10
N=30000

--------------------------------------------------------------------------------------------------
c) N=3000.10^0,1.20

N=3000.100

N=300000
--------------------------------------------------------------------------------------------------
d) Depois de 30 anos
N=3000.10^0,1.30
N=3000.1000
N=3000000

Página 12

b)
N=3000.10°¹.¹°
N=3000.10¹
N=3000.10
N=30.000

c)
N=3000.10°¹.²°
N=3000.10²
N=3000.100
N=300.000

d)3.000.000=10°¹.t x 3000
3.000.000/3000=10°¹.t
1000=10°¹.t
10³=10°¹.t
3=0,1t
3/0,1= t
t=30

PAGINA 16

(VOCE APRENDEU?)

1)b)Então o logaritmo de N é 1: log 10=1

c) Sendo N=0 então N não tem logaritmo, pois 10^n é sempre positivo para todo N

d) O logaritmo de N=1/2(um meio) log de raiz de 10=1/2(um meio)

e) Sendo N= -2 não ha logaritmo pois 10^n é sempre positivo para todo N

g)Como 10>3,22<10² '' '' '' 


Pagina 19 


 (VOCE APRENDEU?) 1)
a)Log6 Aprox 0,77(6 Aprox 10^0,77) 
b)Log 9 Aprox 0,95424(9 Aprox 10^0,95 
c) Log 4 Aprox 0,60206(4 Aprox 10^0,60)
d) Log 12 Aprox 1,07918(12 Aprox 10^1,07)  
e) Log 72 Aprox 1,85733(72 Aprox 10^1,85) 
 f) Log 3600 Aprox 5,55630 ( 3600 Aprox 10^5,55) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 LIÇAO DE CASA 1)
a) Na=6000 Nb=600 


Página 22


2- a) log² 52 = 5 <6 
b) 5<6 
c) 3< log 400<4 
d) 4<5 


3-
a) N=5000.3t N=15000 15000=5000.3t 15000 5000 = 3t 3=3t 3¹=3t t=1 
b) N=5000.3t N=25000 25000=5000.3t 25000 5000 = 3t 5=3t log 5 = t    ³ 1<2 
c) N=5000.3t M=250000 250000=5000.3t 250000 5000 =3t 50=3t log50 = t    ³ 3<4 
d) N=5000.3t N=350000 350000=5000.3t 350000 5000 = 3t 70=3t log70 = t    ³ 3<4 
e) N=5000.3t N= 470000 470000 = 5000.3t             470000 5000       =3t 94=3t log94 = t    ³ 4<5

Volume 4

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

RAMPAS, CORDAS, PARSECS – RAZÕES PARA ESTUDAR
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Páginas 3 - 7

1. Adotando-se a escala 1 : 1 000, ou seja, 1 cm : 10 m, deve-se desenhar um triângulo

retângulo de catetos 4 cm e 10 cm, como ilustrado a seguir:

2. Notamos, na figura, que  +  = 90º; logo,  = 6º. Consultando uma tabela de

tangentes, ou usando uma calculadora, encontramos: tg 6º  0,105, ou seja, a

inclinação da rampa é 0,105, ou 10,5%. Isso significa que, a cada 100 m que

percorremos horizontalmente, nossa elevação vertical é de cerca de 10,5 m. Em

outras palavras, a cada metro percorrido horizontalmente, subimos cerca de 10,5 cm.

3. Se a inclinação da rampa é de 10%, então, aos 80 m horizontais correspondem 8 m,

ou seja, 800 cm de subida, na vertical. Se cada degrau deve ter no máximo 16 cm de

altura, devemos ter no mínimo

800
= 50 degraus.
16

a) As cordas de comprimentos c1 e c2 são diâmetros da circunferência dada; temos,

então, c1 = 2 m e c2 = 2 m.

As cordas de comprimentos c3, c4, c5 e c6 são lados de triângulos equiláteros em que

um dos lados é igual ao raio; logo, c3 = c4 = c5 = c6 = 1 m.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Para calcular o comprimento c7, lembrando que todo ângulo inscrito em uma

semicircunferência mede 90º, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo

retângulo de lados c1, c6 e c7: (c1)2=(c6)2 + (c7)2 e, assim, obtemos c7 = 3 m 1,73 m.

A figura a seguir pode ajudar a lembrar que o triângulo citado é retângulo.

Observação: c1 é o diâmetro da circunferência e, portanto, igual a 2 m.

Note que o conjunto dos pontos de onde se vê uma corda dada em uma

circunferência qualquer sob um ângulo de 90º forma uma semicircunferência que

tem a referida corda como diâmetro.

b) Como o raio da circunferência é igual a 1, o valor da razão entre a semicorda e o

raio é igual ao comprimento de cada semicorda. Temos, portanto, a tabela a seguir:

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

c) Se o raio da circunferência é igual a 5 m, então, a corda é proporcionalmente

maior do que a correspondente ao raio de 1 m, vista a partir do mesmo ângulo

central, que é 60º. A figura a seguir pode ajudar a compreender o que se afirma:

Logo, se a corda correspondente ao ângulo central de 60º é igual a 1 m (o valor do

raio) na circunferência de raio 1, então a corda correspondente ao mesmo ângulo na

circunferência de raio 5 m é igual a 5 m (cinco vezes maior).

d) Analogamente, se a corda tiver comprimento 100 m, sendo o ângulo central 60º,

então teremos a proporção:

Logo, R 

Lembrando que sen 30º = 0,5, também, poderíamos escrever:

c3
sen 30º = 0,5 = 2 50 .

1
R

Daí, seguiria, naturalmente, que R 

c3
1
 .
100 R

100 100

 100 m .
c3
1,0

50
 100 m .
0,5

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

e) Se a corda tiver 100 m, sendo o ângulo central igual a 6º, podemos proceder de

modo análogo ao que foi feito no item anterior, teremos:

sen 3º =

Determinando o valor do seno de 3º em uma tabela de senos, ou em uma calculadora,

obtemos o valor aproximado 0,052. Concluímos, então, que R  961,5 m.

50
50
. Logo, R 
sen 3o
R

Páginas 8 - 10

a) até d) As igualdades são consequência imediata da definição do cosseno, da

cossecante e da cotangente como sendo, respectivamente, o seno, a secante e a

tangente do ângulo complementar.

e) e f) Como a secante é a razão hipotenusa/cateto adjacente, logo, sec  = 1/cos

;

e, analogamente, cossec  = 1/sen .

a
sen  c a
   tg  .
g) e h) A observação direta mostra-nos que
cos  b b
c

o
Analogamente, cotg  = tg (90   ) 

i)

Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo de catetos a e b e de hipotenusa

c, obtemos: c2 = a2 + b2.

Dividindo os dois membros da igualdade por c2, obtemos:

a b
1       ou seja, 1 = sen2  + cos2 .
c c

j)

Efetuando as operações indicadas no primeiro membro, temos:

b2  a2 c2
a
1  tg   1    
 2  sec 2  .
b
b2
b


2

sen (90 o   ) cos 

.
cos (90 o   ) sen 

2

2

2

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

k) Analogamente ao que foi feito em j):

a2  b2 c2
b
1 + cotg2  = 1    
 2  cos sec 2  .
2
a
a
a

2

Páginas 12 - 13

a) Pela definição de parsec, quanto menor o ângulo de paralaxe, maior a distância

entre o Sol e a estrela. Logo, se a distância entre o Sol e a estrela é de 10 parsec, o

ângulo de paralaxe é bem menor do que 1” (no caso, o ângulo será cerca de 10 vezes

menor, ou seja, 0,1”).

b) Temos: tg 1” = 0,000004848 = 1 UA/1 parsec.

Logo, 1 parsec/1 UA = 206 270, ou seja, 1 parsec = 206 270 UA.

c) Calculando a distância d percorrida pela luz em um ano, obtemos,

aproximadamente:

d = 365 . 24 . 60 . 60 . 300 000 = 9,46 . 1012 km.

Logo, sendo o parsec igual a 3,09. 1013 km, concluímos que 1 parsec  3,26 anos-luz.

a) Temos: tg 0,5” = 0,000002424 =

Logo, SE = 1/0,000002424 = 412 541 UA.

b) Notamos que, como o ângulo de paralaxe é muito pequeno, a tangente e o seno

têm aproximadamente o mesmo valor, ou seja, o cateto SE e a hipotenusa TE são

aproximadamente iguais. De fato, se fosse calculado o valor de TE, obteríamos:

1 UA
.
1 SE

TE2 = SE2 + ST2

Notamos que tal distância corresponde a cerca de 2 parsec.

412 5412  1  412 541 UA.

TE =

GABARITO

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA – VAMOS DAR UMA
VOLTA?

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Páginas 14 - 15

2. Os ângulos indicados são:

 = 60º

 = 120º

 = 240º

 = 300º

Como sen 30º =

1
3
e sen2 30º + cos2 30º = 1, cos 30º =
2
2

Logo: sen 60º = cos 30º =

3
2

sen 120º = sen 60º =

sen 240º = – sen 60º = 

sen 300o = – sen 60o = 

3
2

3
2

3
2

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Página 15

1. Basta lembrar que:

tg  = sen /cos 

sec  = 1/cos 

Naturalmente, nos pontos em que os denominadores são nulos, a razão

correspondente não existe.

cotg  = cos /sen 

cossec  = 1/sen 

Páginas 16 - 17

3. Vamos mostrar que o segmento TB representa a tangente de  e que o segmento OB

representa a secante de .

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

De fato, da semelhança dos triângulos OPA e OTB, resulta:

Como OA = OT = 1, OP = cos  e PA = sen ,

segue que:

Logo,

TB 

a)

1. Em consequência do resultado acima, aplicando-se o teorema de Pitágoras aos

triângulos OPA e OTB, obtemos:

cos2  + sen2  = 1

1 + tg2= sec2 

2. Lembrando que cotg  = tg (90º – ) e cossec  = sec (90º – ), podemos

representar, analogamente ao que foi feito anteriormente, a secante e a

cossecante em uma figura similar, traçando-se a reta tangente ao ponto (0; 1),

como mostra a figura a seguir.

cos  sen 
1


.
TB
OB
1

sen 
 tg 
cos 

OB 

1
 sec 
cos 

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

4. Comparando os segmentos orientados que representam o seno e o cosseno dos

ângulos citados, podemos concluir que:

a) sen 120o = cos 30º =

cos 120o = – sen 30o = –1/2

3
2

Um procedimento análogo, nos itens seguintes, conduziria às respostas abaixo.

Busque também fazer uma figura representando cada item.

b) sen 150º = sen 30º =

c) sen 210º = – sen 30º = –

sen 240o = – cos 30o = 

d)

e) sen 300º = – cos 30º = 

f)

sen 330º = – sen 30º = –

1
2

1
2

3
2

3
2

1
2

cos 150o = – cos 30o = 

cos 210º = – cos 30º = 

cos 240º = – sen 30º = –

cos 300º = sen 30º =

cos 330º = cos 30º =

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Páginas 17 - 18

a) Se o ponto P percorreu um arco correspondente ao ângulo central de 360º, então,

ele percorreu a circunferência inteira, cujo comprimento é 2 metros.

Logo, s = 2 metros. Sendo  = 360º, então, sen 360º = 0.

b) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 180º, então ele percorreu

180/360, ou seja, a metade da circunferência, o que equivale a  metros.

Sendo  = 180º, então, sen 180º = 0.

c) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 90º, então ele percorreu

90/360, ou seja, um quarto da circunferência, o que equivale a /2 metros. Sendo  =

90º, então, sen 90º = 1.

d) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 45º, então ele percorreu

45/360, ou seja, um oitavo da circunferência, o que equivale a /4 metros. Sendo

 = 45º,

então, sen 45º =

e) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 30º, então ele percorreu

30/360, ou seja, 1/12 da circunferência, o que equivale a /6 metros. Sendo  = 30º,

então, sen 30º =

Podemos generalizar os resultados até aqui obtidos da seguinte maneira:

Em uma circunferência de raio 1, os arcos correspondentes a 360º, 180º, 90º, 45º e

22,5º têm comprimentos iguais a, respectivamente, 2, , /2, /4 e /8 medidos na

mesma unidade do raio.

De modo geral, existe uma proporcionalidade direta entre a medida do arco e a

medida do ângulo central correspondente: se o ângulo central dobrar, o comprimento

do arco também dobrará, e assim por diante.

Desse fato decorre que, sendo o ângulo central , medido em graus, correspondente a

um arco de comprimento s, vale a proporção,

2
.
2

1
.
2

2 R

. 2 R .
, ou seja, s 
360
360

s





GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Página 19

As relações entre , s e c decorrem das seguintes expressões, já conhecidas:

c

c , ou seja, c  2 R . sen
 2
sen  
2
2 R 2R

s



2 R

.2 R
, ou seja, s 
360
360



1
Para  = 180º, temos: c = 2R. sen 90o = 2R e s  . 2  R =  R.
2

Para  = 120º, temos: c = 2R. sen 60o = R

Para  = 90º, temos: c = 2R . sen 45o = R

1
Para  = 60º, temos: c = 2R. sen 30o = R e s = . 2R = R/3.
6

1
. 2R = 2R /3.
3

3 es=

1
. 2R = R/2.
4

2 es=

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Para  = 30º, temos: c = 2R . sen 15o e s =

de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c  0,52R).

Para  = 10º, temos: c = 2R . sen 5o e s =

tabela de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c  0,17R).

Para  = 0º, temos: c = 2R . sen 0o = 0 e s = 0.

1
. 2R = R/6 (consultando uma tabela
12

1
. 2R  R/18 (consultando uma
36

Para cada um dos valores de , é interessante sugerir aos alunos que façam uma

figura e observem as relações geométricas entre as cordas e os arcos, imaginando os

possíveis polígonos regulares cujos lados correspondem às cordas calculadas, quando

for o caso.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS – REGULARIDADES NA
INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO

Páginas 22 - 23

Basta substituir o valor de n pelo correspondente ao número de lados de cada

polígono nas expressões anteriormente obtidas:

360 o
n

=

(Os valores obtidos que não forem inteiros podem significar alguma dificuldade na

construção efetiva dos polígonos, mas não em sua concepção.)

i = 180º –

360 o
n

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

2. Um quilógono regular seria confundido com uma circunferência devido ao grande

número de lados (1 000 lados). Note pela tabela que o ângulo central será muito

próximo de zero, e o ângulo interno muito próximo de 180º.

Página 23

a) Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo deve ser igual a 180º,

para que os dois sejam iguais é preciso que ambos sejam iguais a 90º. O polígono

regular, nesse caso, é um quadrado.

b) Para que o ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo, devemos ter

360
360
 2.
, que resulta em n = 6. O polígono é um hexágono regular.
n
n

180 

c) Se o ângulo central é igual ao ângulo interno, temos:

360
360
 180 
, que resulta em n = 4. O polígono procurado é um quadrado.
n
n

Páginas 26 - 28

a) Para n = 3, o ângulo central  é igual a 360/n, ou seja,  = 120º. Temos, então:

L3i = 2.sen 60o =

Para n = 6, o ângulo central  é igual a 60º. Temos, então:

L6i = 2.sen 30o = 1 e L6c = 2.tg 30o = 2 3 /3  1,155.

Para n = 12,  = 30o e temos:

L12i = 2.sen 15o  0,518 e L12c = 2.tg 15o  0,536.

Para n = 24,  = 15o e temos:

L24i = 2.sen 7,5o  0,261 e L24c = 2.tg 7,5o = 0,263.

b) Analogamente, calculando os lados dos polígonos inscrito e circunscrito para os

valores indicados de n, temos:

o
3  1,732 e L3c = 2.tg 60 = 2 3  3,464.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

L4i  1,414 e L4c = 2;

L8i  0,765 e L8c  0,828;

L16i  0,390 e L16c  0,398;

L32i  0,196 e L32c  0,197.

É interessante o professor, a partir dos valores calculados, comentar e interpretar

geometricamente os seguintes fatos:

– Quanto mais aumenta o valor de n, mais diminui o comprimento do lado.

– Quanto mais aumenta o valor de n, menor se torna a diferença entre os valores de

Li e de Lc.

– Se multiplicarmos os valores de Li por n, o produto n . Li aproxima-se cada vez

mais de 2 ( 6,282), que é o comprimento da circunferência de raio 1 na qual os

polígonos estão sendo inscritos.

(para L16i  0,390, temos 16.L16i  6,24; para L32i  0,196, temos 32.L32i = 6,272).

O mesmo ocorre se multiplicarmos os valores dos lados dos polígonos circunscritos

pelo número de lados.

4. O lado do polígono inscrito na circunferência é igual a L36i = 2R . sen (/2), sendo

R = 5 cm e o ângulo central  igual a 360/36 = 10º.

Calculando, obtemos: L36i = 2 . 5 . sen 5º  0,872.

O perímetro do polígono será igual a: p36 = 36 . L36i  31,392 cm.

O comprimento da circunferência é C = 2R  31,416.

A diferença porcentual pedida é igual a

31,416  31,392
 0,000764  0,076% .
31,416

5. Para calcular a área do polígono circunscrito, basta calcular a área de um dos 36

pequenos triângulos em que ele se divide e multiplicar esse resultado por 36.

A área de um desses triângulos é a metade do produto da base L36c pela altura, que é

igual ao raio (1 dm). Logo, tal área vale (L36c . 1)/2.

Em consequência, a área do polígono circunscrito é igual a:

A36c= 36.(L36c . 1)/2 = 18 . L36c.

Calculando o lado do polígono, obtemos:

L36c = 2. tg 5º  0,175 dm.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Logo, a área será igual a:

A36c = 18 . 0,175 = 3,150 dm2.

A área do círculo de raio R = 1 dm é igual a A = . 12  3,141 dm2.

A diferença porcentual pedida é

Para calcular a área do polígono regular inscrito, é necessário calcular a altura de

cada um dos triângulos em que ele se divide, que é chamada de apótema (ap) do

polígono. O

triângulo retângulo que tem como catetos a metade do lado do triângulo e o apótema,

e como hipotenusa o raio R da circunferência: ap2 + (Li/2)2 = R2. Algumas atividades

explorando tal fato seriam interessantes.

3,150  3,141
 0,003 , ou seja, cerca de 0,3%.
3,141

apótema

pode

ser obtido usando-se o teorema de Pitágoras no

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS

Páginas 30 - 32

1. Para mostrar tal fato, basta traçar um diâmetro que passa pelo vértice do ângulo

inscrito e notar as relações entre os ângulos indicados:

x+y=

2x + z = 180º

2y + w = 180º.

Logo,

2x + 2y + (z + w) = 360,

ou seja, 2 + (z + w) = 360.

Como sabemos que  + (z + w) = 360 (ver figura),

podemos concluir que 2 = , ou seja,  

Essa relação pode ser aqui explorada, enunciando-se tal resultado de diferentes

modos, como, por exemplo:



, como queríamos mostrar.

2

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

– Todos os ângulos inscritos em um arco de circunferência, que subentendem a mesma corda
(ver Figura 1) têm a mesma medida, que é a metade do ângulo central correspondente.

– Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência tem medida 90º (ver Figura 2.)

2. Traçando-se o diâmetro BP = d, notamos que o triângulo BCP é retângulo em C e

que o ângulo BPC é igual a , uma vez que é um ângulo inscrito no arco CAPB, que

tem o lado a como corda.

No triângulo retângulo BCP, temos: sen  

a
em que d é o diâmetro da
d

circunferência circunscrita ao triângulo. Notamos, então, que

razão entre o lado a e o seno do ângulo oposto correspondente é igual ao diâmetro d

da circunferência.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

De modo inteiramente análogo, concluiríamos que

três razões lado/seno do ângulo oposto são iguais, o que significa que lados e senos

são proporcionais. Esse é o significado da Lei dos senos.

b
c

= d, ou seja, as
sen  sen 

a) O triângulo de lados 5 m, 6 m e 10 m não é retângulo, pois o maior lado ao

quadrado não é igual à soma dos outros dois: 102 > 62 + 52.

b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo será semelhante ao

inicial. Terá, portanto, os mesmos ângulos que ele.

c) Não é possível construir um triângulo com lados 5 m, 3 m e 10 m, pois a soma

de dois dos lados (3 m e 5 m) é menor que o terceiro lado (10 m), como mostra a

figura abaixo.

Para ser possível a construção de um triângulo com lados a, b e c, é necessário que

cada um dos lados seja menor do que a soma dos outros dois.

d) Os lados de um triângulo são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos

opostos, ou seja:

5
6
10


.
sen  sen  sen 

Portanto, a razão

sen 
5
1
, ou seja, é igual a .
é igual a
sen 
10
2

Página 32

1. Qualquer que seja a posição do ângulo α, seu seno, calculado no triângulo retângulo

que tem a hipotenusa como diâmetro, é igual a

1
. Logo α = 30o.
2

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Páginas 33 - 34

a) O triângulo não é retângulo, uma vez que o maior dos lados não é igual à soma

dos quadrados dos outros dois. Como 42 > 22 + 32, o triângulo tem um ângulo obtuso

oposto ao lado 4.

b) Para calcular o cosseno do ângulo , podemos escrever: c2 = a2 + b2 – 2ab . cos .

Logo, 16 = 4 + 9 – 2 . 2 . 3 . cos , ou seja, cos  = –

(Notamos que cos  < 0, pois  > 90o)

c) Para calcular o seno dos outros dois ângulos, podemos escolher um dos

seguintes caminhos:

- Calculamos o cosseno de cada um deles, do mesmo modo utilizado para o cosseno

de , e, a partir daí, calculamos o seno por meio da relação fundamental

sen2  + cos2  = 1.

- Alternativamente, podemos calcular o seno de  por meio da relação

sen2 + cos2  = 1 e, a partir daí, usar a Lei dos Senos.

Optando por esse segundo caminho, temos:

1
sen2  + (– )2 = 1, ou seja, sen  =
4

(lembrar que  tem seno positivo por ser um ângulo menor do que 180o)

Como temos, pela Lei dos senos, a proporção a seguir:

sen  sen  sen 


4
2
3

concluímos que sen  =

1
.
4

15
.
4

15
15
e sen  = 3
.
8
16

5. Considerando o triângulo formado por F2, R e o segmento paralelo a F1, e sendo  o

ângulo formado pelos lados F2 e F1, usando a Lei dos cossenos, temos:

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

R2 = F22 + F12 – 2F1.F2.cos 

Como os ângulos  e  são suplementares, isto é, a soma dos dois é igual a 180o,

cos  = – cos . Em consequência:

R2 = F22 + F12 + 2F1.F2.cos 

É importante destacar aqui que o ângulo , considerado na Física em geral, é o

ângulo entre as duas forças, e não o ângulo entre os dois lados do triângulo em que se

utiliza a Lei dos Cossenos. Como esses ângulos, entre as duas forças e entre os dois

lados do triângulo, são suplementares, os cossenos são simétricos. Em razão disso, os

sinais aparecem trocados no termo em que aparece o cosseno na lei e na fórmula da

resultante, usada na Física.

Páginas 34 - 36

2. Temos: R2 = 1002 + 1002 + 2 . 100 . 100 . cos 

Substituindo os valores de , em cada um dos itens, obtemos:

a) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 0o = 40 000. Logo, R = 200.

b) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 30o = 20 000 + 10 000

Logo, R  193,2.

3  37 321.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

c) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 45o = 20 000 + 10 000

Logo, R  184,8.

d) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 60o = 20 000 + 10 000 = 30 000.

Logo, R  173,2.

e) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 90o = 20 000 + 0. Logo, R  141,4.

1
R2 = 20 000 + 20 000 . cos 120o = 20 000 + 20 000 . ( – ) = 10 000.
2

f)

Logo, R = 100.

g) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 150o = 20 000 + 20 000 . ( – 3 /2)  2 679.

Logo, R  51,8.

h) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 180o = 20 000 + 20 000.(–1) = 0. Logo, R = 0.

É interessante fazer uma figura para cada um dos valores de , representando a

resultante pela Regra do Paralelogramo e interpretando os resultados: quando o

ângulo  mede 180º, por exemplo, as forças são diretamente opostas, e a resultante,

naturalmente, é igual a 0.

2  34 142.